圆的面积
[教学内容] 《义务教育教科书·数学（六年级上册）》65～67页。
[教学目标]
1.通过操作、观察、验证、讨论和归纳等数学活动，认识圆的面积的含义，探索并掌握圆的面积公式，能正确计算圆的面积，并能应用公式解决相关的简单实际问题，构建数学模型。
2.在探索圆的面积计算公式的过程中，通过“猜想尝试——交流改进——有据转化——发展验证——总结应用”的活动，体会“转化”的数学思想方法，感悟极限思想的价值，培养运用已有知识解决新问题的能力，增强空间观念，发展数学思考，积累数学活动经验。
3.结合具体情境，进一步体验数学与生活的联系，感受用数学的方式解决实际问题的过程，提高学习数学的兴趣。了解刘徽的“割圆术”等圆的面积发展历史，培养民族自豪感和开放看世界的情怀。
[教学重点]圆面积计算公式的推导。
[教学难点]圆面的剪拼转化及圆面积公式的推导；极限思想的渗透。
[教学准备] 教具：多媒体课件；学具：每人一把剪刀，2张圆纸片。
[教学过程]
一、创设情境，提出问题
（一）读信息，提问题
课件出示情境图（见图1）。
师：2008年北京奥运会，我们中国的奥运健儿共打破了43项世界纪录。这是2008北京奥运会闭幕式的中心舞台，读信息，你能提出什么数学问题？
信息：圆形中心舞台的直径是20米；其中有一个直径1.6米的圆形升降舞台。
问题：
预设1：圆形中心舞台的面积是多少？
预设2：升降舞台的面积是多少？
（二）结合情境，认识圆的面积
师：今天这节课咱们就来研究圆的面积。什么是圆的面积？
学生结合图交流，明确：圆所占平面的大小叫做圆的面积。
【设计意图】创设奥运会情境，一方面能很好地引发学生对圆面积研究的强烈愿望，另一方面能激发学生的爱国情环。在圆的面积的认识这一环节，基于学生以往的经验，将会很容易想到“圆的面积是圆所占平面的大小”。所以此处的设计比较简单。
二、合作交流，探究新知
（一）积极思考，引发猜想
1.初步探索，独立尝试
师：以前咱们也接触过一些平面图形面积的求法，圆的面积怎么求——咱们学过吗？
预设：没求过。
追问：是不是就没有办法了呢？有什么好办法？先自己试试看。
学生独立尝试，教师巡视发现有代表性的想法。
【设计意图】“学生不是空着脑袋进课堂的”。由于在以往的学习中，学生已经多次接触过“将没学过的问题转化成学过的问题来解决”的转化思想，所以对于“圆的面积”的求解一定会有些模糊的初步的想法。教师此处放手让学生自己动手尝试，将自己的设想付诸实践，在此过程中逐步清晰“转化”的思路，同时也能感受到“圆的面积”与以往所学的平面图形面积的不同，聚焦难点，激发进一步研究的愿望。
2.展示交流，确定转化思路
师：同学们一定有些想法，可能也会遇到一些解决不了的困难，没关系，咱们一起交流一下，说不定就能受到启发。
组织学生交流。
预设1：外切正方形。
预设2：内接正方形。
预设3：转化成小扇形。
在交流中引导学生发现都是运用了转化的方法。
3.观察比较，确立范围:
师：同样是转化，大家转化的结果有没有哪些有相似之处？
预设：前两种都是用画正方形的方法。都是想把圆的面积转化为正方形的面积。不同是一个是在圆外面画正方形，一个是在圆内画正方形。
师：这两个正方形的面积等于圆的面积吗？你发现了什么？
预设1：外面的正方形（外切正方形）比圆的面积大，里面的正方形（内接正方形）比圆的面积小。
预设2：圆的面积最大不会超过外面的正方形，最小不会小于里面的正方形，它的面积范围在大正方形与小正方形之间。
4.逐步逼近，体验极限
师：怎样才能更接近圆的面积？
学生思考，联想到：继续割，割成八边形、十六边形等。
根据学生猜想，课件直观演示，引导推想：继续割下去，多边形的边几乎和圆重合了。
小结：我们割的次数越多，所割成的多边形面积就越接近圆的面积。
5.类比延伸，引申历史
师：同样的，从里面画的多边形，边数越多的图形面积也可以更接近圆的面积。（课件演示）咱们的这种想法非常符合我国古代数学家“刘徽”的割圆术的想法，是一种无穷逼近的极限思想。（板书：极限思想）
【设计意图】学生在转化中自然想到与以往熟悉的正方形进行联系，通过比较确立了圆的面积范围：“比外切正方形小，比内接正方形大，在两者之间。”体会在圆的面积研究发展过程中是如何一步步逼近圆的面积的；之后，借助课件展示和想象，进一步渗透“割得越多，多边形边数越多越接近圆的面积”的极限思想。
6.思路调整，适时点拨
师：这样的方法能不能进行圆面积的计算？
引发学生启发思考，产生争议。
师：我们刚才自己已经尝试进行了转化，遇到一些困难。现在我们要静下心来想一想：我们转化的目的是什么？是不是随便转化？转化有没有一定的依据呢？
学生交流后，追问：圆的面积可能跟什么有关系？
预设：可能像周长那样，与半径、直径、圆周率有关。
根据学生回答，小结：是呀，看来我们解决问题除了得有好点子——转化，还得有依据的进行转化。
【设计意图】本节课中圆形面积的转化对学生来说有一定的难度。借助以往经验的转化后学生会发现不论是转化为正方形还是转化成三角形都有一部分难以处理的弓形面积。此时学生会不知所措，需要进一步的点拨指导。以问题“是不是随便转化，有没有一定的依据”， “圆的面积可能与什么有关”驱动，引导学生主动将转化的活动与探求面积计算方法的目的结合起来，主动联系半径的重要作用，有据转化，进一步发展学生的转化思想，提高了学生的逻辑思维能力。
三、操作验证，总结公式
（一）操作验证，寻找关系
1.转化圆形，感受极限
师：现在想不想带着你的新经验，自己动动手，折一折，剪一剪，再转化一次试试？有结果后在小组里交流一下。
学生自主活动后，展示交流。
预设1（四分法）：我们将圆形剪成了4个大小相等的扇形。又拼成了一个近似的平行四边形。
教师引导学生发现：拼成的图形是否标准的长方形（平行四边形），同时肯定经过新的剪拼法已经很接近我们熟悉的图形了。
预设2（八分法）：我们将圆形剪成了8个大小相等的扇形，然后拼起来。
教师引导观察：分成8份比分成4份拼成的图形——更接近标准的平行四边形。
师：还可以更像吗？分成32份，64份，128份……还可以继续分吗？一直分下去可以分多少份？
引导学生想象，从而推理出：分的份数越多，拼成的图形就越接近标准的长方形。
师：我们操作的次数是有限的，但是我们的想象却是无限的，可以不断地想下去。
2.课件展示，验证猜想
师：我们来看一下，事实跟你们的想象是不是一样，注意观察拼成的图形发生了怎样的变化。
课件演示：8份，16份，32份……
师：继续分下去，拼成的图形发生了怎样的变化？
预设1：底边的弧看起来就接近直的线段了。
预设2：图形就更像长方形了。
根据学生回答，小结：底边的弧随着份数的增多越来越不明显了，可以忽略不计了。其实平均分的份数足够多的话，这个图形可能就会更接近长方形，长方形也是特殊的平行四边形。
3.联系比较，推导公式
小组合作观察比较，探究转化前后图形间的关系，推导公式。
师：哪个小组愿意跟大家交流一下你们的推导过程？
预设：转化前后形状变了，面积没变。转化后长方形的长是圆形周长的一半，宽是圆的半径。长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=圆的周长的一半×圆的半径。
追问：为什么平行四边形的底等于圆周长的一半？
结合课件帮助理解：如果把圆平均分的份数足够多，就拼成了一个近似的长方形。转化前后，虽然形状变了，但是面积没变，这样就把求圆的面积转化成了求长方形的面积。长方形的长等于圆周长的一半，用表示，长方形的宽等于圆的半径，也就是r，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积×r =
×r=πr
师：现在我们要求圆的面积只要知道什么就行了？
预设：圆的半径。
引导学生发现，通过刚才的操作验证，证明之前的猜测是正确的，圆的面积与确实半径有关。
4.回顾质疑，深入理解
师：同学们静静的回顾一下，刚才我们是怎样得到圆的面积的计算公式的？
预设：我们把圆沿半径剪成若干个小扇形，拼成近似的长方形，长方形的长是圆周长的一半，长方形的宽是圆的半径，经过化简得出S=πr
。
再次交流中，学生深入理解公式。
【设计意图】极限思想的渗透是本节课的重要内容。以问题“现在的剪法能转化成想要的图形吗？能接近想要图形吗？还能更接近吗？”引发学生思考，这样学生在操作活动中，边做边思，边想象边进一步尝试，认识到“剪的份数越多，拼成的图形越接近标准的长方形”；同时借助直观课件演示将抽象的问题直观呈现给学生，“观察图形发生了怎样的变化” 使学生发现“弧线越来越不明显”“拼成的图形越来越接近长方形”，验证猜想，再一次发展极限思想，学生的空间观念也得到发展。
四、应用公式，解决问题
1.解决红点问题：圆形中心舞台的面积是多少？
2.求下面各圆的面积（见图2）。（教材P67第1题）
【设计意图】数学源于生活，又服务于生活。把本节课所学知识应用到实际生活中，将数学与生活联系起来，让学生体会到数学是有用的，发展学生的应用意识。
五、圆的面积发展历史介绍
资料介绍：其实，今天我们研究的圆的面积问题，是古代三大几何难题之一：化圆为方。刘徽到底是怎样研究割圆术的呢？我们一起来看看。
相关介绍刘徽的《割圆术》、开普勒与圆的面积公式。
师：这时，距离刘徽的割圆术时间已经过去了一千多年。咱们同学们在为自己祖国古老数学文明感到荣耀的同时，也要知道一个数学结论的得出可能是全世界数学家不断研究的结果，咱们也要敞开胸怀，以一种开放的眼光来看世界。
【设计意图】肖川《教育的理想与信念》中这样说：“先进的教学理念应该是把教学过程视为：知识的构建+情感丰富、细腻的纯化+态度与价值观的形成和完善以及思想的升华+智慧能力的培养。”因此，在经历了观察、操作、想象、推理、归纳、应用等多种方式的探索后，对学生进行圆的面积研究发展的历史，有助于学生从中找到“自己的数学”与数学知识之间的联系，学生的认识向理论层次发展。同时，培养学生的民族自豪感和开放看世界的情怀。
六、回顾反思
师：今天这节课我们通过自己先猜想尝试确定了转化的思路，在交流中发现困难进行改进，明白了我们不但要转化，而且要有据转化，经过验证得出了圆面积的计算公式，总结应用，解决了我们提出的问题。自己经过克服困难研究出来的结论更让我们觉得有收获，是不是？说说这节课你有什么收获？
学生可能会从知识、方法、感受多方面谈收获。
这节课马上就要结束了，圆的面积转化是不是只能将小扇形剪拼成长方形这一种方法？
还有没有其他方法？之前我们运用割圆术的方法进行转化，现在我们回头再看，能得出圆的面积公式吗？自己回家试试看好吗？
【设计意图】回顾反思整个过程有助于学生加深对探究过程中涉及的知识及方法的深度思考与理解，培养良好思维品质的形成，提高思维能力。通过回顾梳理，有利于学生建立起“猜想尝试——交流改进——有据转化——发展验证——总结应用”的求解圆形面积的完整模型，发展学生的模型思想和反思意识。设计回家探究“割圆术”方法推导圆面积公式的活动，将课堂学习延伸至课外，在两种方法的联系中进一步深化圆的面积公式认识，培养学生的探究能力和应用意识。
青岛市市北区河西小学 袁晓艳